Dans le but d’objectiver les difficultés didactiques liées à la portée et la notation infixe ou préfixe du symbole « − » (voir cet article), nous proposons à titre d’exemple les exercices qui suivent. Il appartient naturellement à l’enseignant d’adapter ces questions au public visé, ainsi que de choisir les modalités de leur mise en application.
Conjointement à ce diagnostic, nous suggérons qu’une place primordiale soit accordée à des moments de discussion, entre pairs comme avec l’enseignant, dans un but de sensibilisation et non de théorisation.
Du point de vue didactique, l’ordre des questions posées fait écho aux niveaux taxonomiques de B. Bloom 1. Leur positionnement précis au sein de cette hiérarchie dépasse largement le cadre de cet article, les limites des niveaux taxonomiques étant elles-mêmes sujettes à discussion. Néanmoins, l’ordonnancement effectué ici nous assure d’inviter les élèves à un travail progressif, depuis les tâches cognitivement les plus simples jusqu’aux plus complexes.
Tableau
Le tableau suivant regroupe dix expressions mathématiques dans lesquelles apparaît le symbole « − » .
Question 1 — (Niveau 1 : connaissance)
Au sein de ces expressions, entoure chaque élément sur lequel porte le symbole « − » .
Cette première question a trait aux difficultés qui concernent la portée du symbole (section 2.1 de cet article). Une discussion peut être menée en invitant les élèves à comparer des expressions telles que D et E, et à évoquer ainsi l’importance de leur structure.
Question 2 — (Niveau 2 : compréhension (interprétation))
Sans calculer, identifie et liste les expressions du tableau…
- où le « − » représente l’opération de soustraction ;
- où le « − » représente l’opération qui donne l’opposé d’un nombre ;
- où le « − » est le signe d’un nombre négatif.
Ici, l’enseignant a l’occasion de vérifier l’interprétation du symbole « – » (section 2.2 de cet article) et de discuter des cas moins évidents comme l’expression A. Il apparaît important d’insister sur la nécessité de n’effectuer aucun calcul. C’est bien la signification du « – » dans chaque expression qui doit être analysée, et pas le caractère négatif ou positif du résultat d’un éventuel calcul.
Question 3 — (Niveau 2 : compréhension (traduction))
- Traduis chaque expression du tableau en français correct. Utilise des mots comme : opposé, somme, différence, produit, carré.
- Au vu de cette traduction, compare tes réponses à celles des questions 1 et 2. Apportes-y des modifications si nécessaire.
Cet exercice regroupe les considérations des questions 1 et 2. On aura ainsi l’opportunité de mettre en lumière l’apport d’une bonne traduction française à la levée de certaines ambiguïtés de structure. La comparaison de traductions d’expressions, comme celles de H et de I, peut ainsi permettre de mieux identifier le sens accordé au « – » en leur sein.
Question 4 — (Niveau 4 : analyse)
- Certains éléments du tableau apparaissent-ils dans plusieurs listes de la question 2 ? Si oui, explique pourquoi.
- Sans calculer, peux-tu transformer les expressions A, D et H en différence ? Si oui, explique comment et pourquoi.
On touche ici aux relations qu’entretiennent les différentes significations du symbole « − » (section 2.3 de cet article). L’expression A peut être interprétée à la fois comme un nombre négatif et l’opposé d’un nombre ; on peut évoquer cette relation et comparer de tels cas à celui de l’expression L.
Avec la réécriture possible d’expressions sous la forme d’une différence, la question de l’interchangeabilité du sens accordé au symbole « − » ne se limite plus aux significations du moins préfixe, mais s’étend aux relations infixe-préfixe.
Outre le diagnostic de difficultés liées à de mauvaises interprétations du symbole « − » il est sans doute important de faire sentir aux élèves que la coexistence de ces interprétations, et le passage possible de l’une à l’autre, relèvent de la réalité mathématique, et non de l’application d’une quelconque astuce arbitraire, vide de sens.
